令和6年度下期第三種電気主任技術者試験 理論（電気技術者試験センター）問17(a)
理論
空気コンデンサに関する問題
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(選択問題)
図のように，十分大きい平らな金属板で覆われた床と平板電極とで作られる空気コンデンサが二つ並列接続されている。二つの電極は床と平行であり，それらの面積は左側がA₁＝10⁻³ m²，右側がA₂＝10⁻² m²である。床と各電極の間隔は左側がd＝10⁻³ mで固定，右側がx [m]で可変，直流電源電圧はV₀＝1000 Vである。次の(a)及び(b)の問に答えよ。ただし，空気の誘電率をε＝8.85×10⁻¹² F/mとし，静電容量を考える際にコンデンサの端効果は無視できるものとする。
(a) まず，右側のx [m]をd [m]と設定し，スイッチSを一旦閉じてから開いた。このとき，二枚の電極に蓄えられる合計電荷Qの値[C]として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
- 18.0×10⁻⁹
- 21.6×10⁻⁸
- 39.7×10⁻⁸
- 41.9×10⁻⁷
- 51.6×10⁻⁶
答えと解説
✓ これが正解39.7×10⁻⁸
解説
8.85 pFと88.5 pFの並列で、Q≒9.7×10⁻⁸ Cです。
床の金属板と平板電極は平行板の空気コンデンサで、静電容量はC＝εA／dです。二つの電極はスイッチSの先で同じ電源の端子につながり、床が共通のもう一方の極なので並列接続で、合成静電容量は和になります。
x＝dのとき、左側はC₁＝8.85×10⁻¹²×10⁻³／10⁻³＝8.85×10⁻¹² F、右側はC₂＝8.85×10⁻¹²×10⁻²／10⁻³＝8.85×10⁻¹¹ Fです。合成はC₁＋C₂＝9.735×10⁻¹¹ Fで、スイッチを閉じると両方に1000 Vが加わるので、Q＝9.735×10⁻¹¹×1000≒9.7×10⁻⁸ Cとなります。スイッチを開いてもこの電荷は逃げ場がなく、そのまま保たれます。
検算として、それぞれの電荷を別々に求めます。左側はQ₁＝C₁V₀＝8.85×10⁻⁹ C、右側はQ₂＝C₂V₀＝8.85×10⁻⁸ Cで、合計9.735×10⁻⁸ Cとなり一致します。面積が10倍の右側に電荷の大部分が集まります。
したがって9.7×10⁻⁸ Cが正解です。電極の間隔が同じなら静電容量は面積に比例する、と見ておくと、C₂がC₁の10倍であることがすぐ分かります。
ほかの選択肢の解説
- 18.0×10⁻⁹：8.0×10⁻⁹ Cは、二つのコンデンサを直列とみなし、合成8.05×10⁻¹² Fに1000 Vを掛けた値です。どちらの電極も電源の同じ側につながり床を共有しているので、並列として和を取ります。
- 21.6×10⁻⁸：1.6×10⁻⁸ Cは、左右どちらの電極の電荷とも合いません。左側だけなら8.85×10⁻⁹ C、右側だけなら8.85×10⁻⁸ Cで、並列の合計は9.7×10⁻⁸ Cです。
- 41.9×10⁻⁷：1.9×10⁻⁷ Cは正しい合計9.7×10⁻⁸ Cのちょうど2倍にあたる値です。2枚の電極の電荷を足したものが合計で、それをさらに2倍にする要素はこの回路にありません。
- 51.6×10⁻⁶：1.6×10⁻⁶ Cは正しい値のおよそ16倍です。合成の静電容量は約97 pFしかないので、1000 Vを加えても電荷は10⁻⁷ Cの桁にとどまり、この値にはなりません。
出典：令和6年度下期第三種電気主任技術者試験 理論 問17(a)（電気技術者試験センター）。1問ずつ解ける形に加工しています（B問題の共通の文と図を小問ごとに複写・図と式を問題冊子から切り出して画像で掲載・1行で書ける式を字に書き直し）。解説は当サイト独自のもので、電気技術者試験センターとは関係ありません。
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