令和6年度下期第三種電気主任技術者試験 理論（電気技術者試験センター）問1
理論
平行平板コンデンサに関する問題
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図のように，電極面積0.1 m²，電極間隔6 mmの平行平板コンデンサに，比誘電率ε₁＝2，厚さ2 mm及び比誘電率ε₂＝4，厚さ4 mmの2種類の誘電体が電極と平行に挿入されている。このコンデンサに12 Vの直流電圧を印加したとき，蓄えられる電荷の値[C]として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし，真空の誘電率ε₀＝8.85×10⁻¹² F/mとし，コンデンサの端効果は無視するものとする。
- 15.3×10⁻⁹
- 27.8×10⁻⁹
- 39.4×10⁻⁹
- 42.1×10⁻⁸
- 54.5×10⁻⁸
答えと解説
✓ これが正解15.3×10⁻⁹
解説
2層の誘電体は直列のコンデンサで、Q＝CV≒5.3×10⁻⁹ Cです。
誘電体が電極と平行に重なっているときは、それぞれの層を一つのコンデンサとみなし、その二つが直列につながったものとして扱います。平行平板コンデンサの静電容量はC＝ε₀εᵣS／d（εᵣは比誘電率、Sは電極面積、dは層の厚さ）です。
ε₁の層はC₁＝8.85×10⁻¹²×2×0.1／(2×10⁻³)＝8.85×10⁻¹⁰ F、ε₂の層はC₂＝8.85×10⁻¹²×4×0.1／(4×10⁻³)＝8.85×10⁻¹⁰ Fで、同じ値になります。直列の合成はC＝C₁C₂／(C₁＋C₂)＝4.425×10⁻¹⁰ Fです。電荷はQ＝CV＝4.425×10⁻¹⁰×12≒5.31×10⁻⁹ Cとなります。
別の見方では、各層の厚さを比誘電率で割った値を足すと2／2＋4／4＝2 mmとなり、真空で電極間隔2 mmのコンデンサと同じ静電容量です。ε₀S／(2×10⁻³)＝4.425×10⁻¹⁰ Fとなり、同じ値に着きます。したがって5.3×10⁻⁹ Cが正解です。
電極と平行に重ねた層は直列、電極と垂直に仕切った層は並列、と誘電体の境目の向きで見分けます。
ほかの選択肢の解説
- 27.8×10⁻⁹：7.8×10⁻⁹ Cは、正しく直列で合成した5.3×10⁻⁹ Cとは一致しません。並列とみなした2.1×10⁻⁸ C、全体をε₁またはε₂の誘電体で埋めた3.5×10⁻⁹ C・7.1×10⁻⁹ Cのどれとも合わない値です。
- 39.4×10⁻⁹：9.4×10⁻⁹ Cも、正しい計算の5.3×10⁻⁹ Cとは一致しない値です。二つの層は静電容量が等しいので12 Vは6 Vずつに分かれ、どちらの層の電荷も8.85×10⁻¹⁰×6≒5.3×10⁻⁹ Cです。
- 42.1×10⁻⁸：2.1×10⁻⁸ Cは、二つの層を並列のコンデンサとみなし、C₁＋C₂＝1.77×10⁻⁹ Fに12 Vを掛けた値です。電極と平行に重なった層は電界の向きに順に並んでいるので、並列ではなく直列として合成します。
- 54.5×10⁻⁸：4.5×10⁻⁸ Cは正しい値のおよそ8.5倍です。どちらか1層の静電容量に12 Vを掛けても1.1×10⁻⁸ C、並列とみなしても2.1×10⁻⁸ Cで、この値にはなりません。
出典：令和6年度下期第三種電気主任技術者試験 理論 問1（電気技術者試験センター）。1問ずつ解ける形に加工しています（B問題の共通の文と図を小問ごとに複写・図と式を問題冊子から切り出して画像で掲載・1行で書ける式を字に書き直し）。解説は当サイト独自のもので、電気技術者試験センターとは関係ありません。
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