令和7年度下期第三種電気主任技術者試験 理論（電気技術者試験センター）問17(b)
理論
蓄積エネルギーに関する問題
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(選択問題)
図のように，極板間の厚さd [m]，表面積S [m²]の平行板コンデンサAとBがある。コンデンサAの内部は，比誘電率と厚さが異なる3種類の誘電体で構成され，極板と各誘電体の水平方向の断面積は同一である。コンデンサBの内部は，比誘電率と水平方向の断面積が異なる3種類の誘電体で構成されている。コンデンサAの各誘電体内部の電界の強さをそれぞれEA1，EA2，EA3，コンデンサBの各誘電体内部の電界の強さをそれぞれEB1，EB2，EB3とし，端効果，初期電荷及び漏れ電流は無視できるものとする。また，真空の誘電率をε₀ [F/m]とする。両コンデンサの上側の極板に電圧V [V]の直流電源を接続し，下側の極板を接地した。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
(b) コンデンサB全体の蓄積エネルギーは，コンデンサA全体の蓄積エネルギーの何倍か，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
- 10.72
- 20.83
- 31.00
- 41.20
- 51.38
答えと解説
✓ これが正解41.20
解説
電圧が同じなので容量の比で、(13／3)÷(18／5)≒1.20倍です。
両方のコンデンサに同じ電圧Vを加えているので、蓄積エネルギーW＝(1／2)CV²は静電容量Cに比例します。そこで二つの容量を比べます。
コンデンサAは層が上下に重なった直列です。(a)で求めたとおり、各層の電界は9V／(5d)、6V／(5d)、3V／(5d)でした。各層の容量はε×S／厚さで、2ε₀S／(d／6)＝12ε₀S／d、3ε₀S／(d／3)＝9ε₀S／d、6ε₀S／(d／2)＝12ε₀S／dです。直列の合成は逆数の和で、1／CA＝(1／12＋1／9＋1／12)×d／(ε₀S)＝(5／18)×d／(ε₀S)、CA＝18ε₀S／(5d)＝3.6ε₀S／dです。
コンデンサBは境目が電界と平行で、三つの部分の並列です。容量はそのまま足し、CB＝(2×1／6＋3×1／3＋6×1／2)ε₀S／d＝(13／3)ε₀S／d≒4.33ε₀S／dです。
したがってWB／WA＝CB／CA＝(13／3)÷(18／5)＝65／54≒1.20倍です。
同じ材料を同じ割合で使っても、重ねる（直列）か並べる（並列）かで容量が変わり、並べた方が大きくなる、と覚えておくと見当がつけられます。
ほかの選択肢の解説
- 10.72：0.72倍の由来は導けません。Bは並列で容量13ε₀S／(3d)、Aは直列で18ε₀S／(5d)となり、Bの方が大きいので、同じ電圧ならBのエネルギーの方が大きく、比は1を超えます。
- 20.83：0.83倍は、AとBの容量の比を逆にとったCA／CB＝3.6／4.33の値です。問われているのはBのエネルギーがAの何倍かなので、CB／CAで約1.20倍になります。
- 31.00：1.00倍は、同じ3種類の誘電体を同じ割合で使っているので容量も同じと考えた値です。重ねる（直列）か並べる（並列）かで合成の仕方が違い、ε₀S／dを単位に3.6と4.33で一致しません。
- 51.38：1.38倍の由来は導けません。同じ電圧Vなら蓄積エネルギーは静電容量に比例し、BとAの容量の比は65／54で約1.20となるので、1.38倍にはなりません。
出典：令和7年度下期第三種電気主任技術者試験 理論 問17(b)（電気技術者試験センター）。1問ずつ解ける形に加工しています（B問題の共通の文と図を小問ごとに複写・図と式を問題冊子から切り出して画像で掲載・1行で書ける式を字に書き直し）。解説は当サイト独自のもので、電気技術者試験センターとは関係ありません。
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