令和7年度上期第三種電気主任技術者試験 理論（電気技術者試験センター）問17(a)
理論
比例定数に関する問題
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(選択問題)
大きさが等しい二つの導体球A，Bがある。両導体球に電荷が蓄えられている場合，両導体球の間に働く力は，導体球に蓄えられている電荷の積に比例し，導体球の中心間距離の2乗に反比例する。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
(a) この場合の比例定数を求める目的で，導体球Aに＋4×10⁻⁸ C，導体球Bに＋6×10⁻⁸ Cの電荷を与えて，導体球の中心間距離で0.3 m隔てて両導体球を置いたところ，両導体球間に2.4×10⁻⁴ Nの反発力が働いた。この結果から求められる比例定数[N･m²/C²]として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし，導体球A，Bの初期電荷は零とする。また，両導体球の大きさは0.3 mに比べて極めて小さいものとする。
- 13×10⁹
- 24×10⁹
- 39×10⁹
- 412×10⁹
- 515×10⁹
答えと解説
✓ これが正解39×10⁹
解説
k＝F r²／(q₁q₂)を計算すると9×10⁹ N･m²/C²です。
問題文のとおり、二つの電荷の間に働く力はF＝k×q₁q₂／r²（kは比例定数、rは中心間距離）で表されます。この式をkについて解き、測定値を代入します。
k＝F×r²／(q₁q₂)です。q₁q₂＝4×10⁻⁸×6×10⁻⁸＝24×10⁻¹⁶ C²、r²＝0.3²＝0.09 m²なので、k＝2.4×10⁻⁴×0.09／(24×10⁻¹⁶)＝2.16×10⁻⁵／(2.4×10⁻¹⁵)＝9×10⁹ N･m²/C²です。
検算として、k＝9×10⁹を使って力を計算し直すと、F＝9×10⁹×24×10⁻¹⁶／0.09＝2.16×10⁻⁵／0.09＝2.4×10⁻⁴ Nとなり、測定された反発力と一致します。両方の電荷が正なので、力が反発力になることとも合います。
この値は、真空の誘電率ε₀≒8.85×10⁻¹² F/mを使った1／(4πε₀)とほぼ同じで、静電気の力の計算でくり返し使う定数です。
導体球の大きさが距離に比べて極めて小さいという条件は、電荷が中心に集まった点電荷として扱ってよいことを意味しています。
ほかの選択肢の解説
- 13×10⁹：k＝3×10⁹とすると、F＝3×10⁹×24×10⁻¹⁶／0.09＝8×10⁻⁵ Nとなり、測定された2.4×10⁻⁴ Nの3分の1です。この値の由来は導けません。
- 24×10⁹：k＝4×10⁹では、力は4×10⁹×24×10⁻¹⁶／0.09≒1.07×10⁻⁴ Nとなり、測定値に足りません。4×10⁹となる計算の由来は導けません。
- 412×10⁹：12×10⁹を使うと力は3.2×10⁻⁴ Nとなり、測定値の2.4×10⁻⁴ Nより大きくなります。この値の由来は導けません。
- 515×10⁹：15×10⁹では力が15×10⁹×24×10⁻¹⁶／0.09＝4.0×10⁻⁴ Nとなり、測定値を上回ります。この値の由来は導けません。
出典：令和7年度上期第三種電気主任技術者試験 理論 問17(a)（電気技術者試験センター）。1問ずつ解ける形に加工しています（B問題の共通の文と図を小問ごとに複写・図と式を問題冊子から切り出して画像で掲載・1行で書ける式を字に書き直し）。解説は当サイト独自のもので、電気技術者試験センターとは関係ありません。
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