令和6年度下期第三種電気主任技術者試験 理論（電気技術者試験センター）問2

✓ これが正解17.08×10⁻⁴

解説

孤立した導体球の静電容量はC＝4πε₀aで、約7.08×10⁻⁴ Fです。

真空中にある半径aの孤立した導体球に電荷Qを与えると、表面の電位は無限遠を基準としてV＝Q／(4πε₀a)になります。静電容量はC＝Q／Vなので、導体球の静電容量はC＝4πε₀aで、半径に比例します。

数値を代入すると、C＝4π×8.85×10⁻¹²×6.37×10⁶です。4π×8.85×10⁻¹²≒1.112×10⁻¹⁰なので、C≒1.112×10⁻¹⁰×6.37×10⁶≒7.08×10⁻⁴ Fとなります。

検算として掛ける順番を変えます。先にε₀a＝8.85×10⁻¹²×6.37×10⁶≒5.637×10⁻⁵を求め、4π≒12.566を掛けると7.084×10⁻⁴ Fで、同じ値に着きます。したがって7.08×10⁻⁴ Fが正解です。地球ほど大きな導体でも、静電容量は1 mFに満たないことが分かります。

導体球の静電容量は半径の1乗に比例する、と押さえておくと、半径を2乗してしまう取り違えを防げます。

ほかの選択肢の解説

• 24.45×10⁻³：4.45×10⁻³ Fは、正しい値7.08×10⁻⁴ Fのちょうど2π倍にあたる値です。導体球の静電容量は4πε₀aで表され、それ以上の係数はかからないので、この値にはなりません。
• 34.51×10³：4.51×10³ Fは、半径を2乗して4πε₀a²としたときの値です。表面の電位は半径の1乗に反比例するので静電容量も半径の1乗に比例し、2乗にすると単位もFではなくF·mになります。
• 45.67×10⁴：5.67×10⁴ Fは、半径を2乗した4πε₀a²の値4.51×10³にさらに4πを掛けた値と一致しますが、正しい式4πε₀aとは形が違います。正しい値は10⁻⁴ Fの桁で、8桁も違います。
• 51.78×10⁵：1.78×10⁵ Fは、正しい計算の値と桁が大きく離れています。半径6.37×10⁶ mに8.85×10⁻¹²と4πを掛ければ10⁻⁴ Fの桁になるので、10⁵ Fの桁の値は桁の確かめだけで外せます。