令和6年度上期第三種電気主任技術者試験 理論（電気技術者試験センター）問2

✓ これが正解44πε₀a²Em

解説

表面の電界Q／(4πε₀a²)がEmに達するQ＝4πε₀a²Emが最大です。

孤立した導体球に電荷Qを与えると、電荷は表面に一様に分布し、球の外の電界は中心に電荷Qを置いた点電荷のつくる電界と同じになります。ガウスの法則から、中心から距離r（r≧a）の点の電界はE＝Q／(4πε₀r²)で、電界が最も強いのは球の表面（r＝a）です。

空気の絶縁耐力Em（絶縁破壊を起こさずに耐えられる電界の上限）を表面の電界が超えると放電が起きるので、帯電できる最大の電荷は、表面の電界がちょうどEmになるときの電荷です。Q／(4πε₀a²)＝EmをQについて解くと、Q＝4πε₀a²Emとなります。

別の方法で検算します。導体球の静電容量はC＝4πε₀a、電荷Qのときの表面の電位はV＝Q／C＝Q／(4πε₀a)で、球の表面の電界はこの電位を半径aで割ったV／aに等しいので、Em＝Q／(4πε₀a²)となり同じ式に着きます。単位を見ても、ε₀はF/m、a²はm²、EmはV/mなので、4πε₀a²Emの単位はF·V＝Cで電荷の単位に合います。

電界は距離の2乗に反比例、電位は距離の1乗に反比例、と次数を区別しておくと、似た式を見分けられます。

ほかの選択肢の解説

• 1Em／(4πε₀a²)：Em／(4πε₀a²)は、電界の式のQとEmの位置を入れ替えた形です。単位を調べるとV/mをF/m×m²で割ることになり、V／(F·m²)となって電荷の単位Cになりません。
• 2Em／(4πε₀a)：Em／(4πε₀a)は、V/mをF/m×mで割った形で、単位はV／(F·m)です。電荷の単位Cとは次元が違うので、帯電できる最大の電荷を表す式にはなりません。
• 34πε₀aEm：4πε₀aは導体球の静電容量で、Emを掛けると単位はC/mとなり電荷になりません。限度になるのは電位ではなく表面の電界なので、半径の2乗を掛けたa²の形が必要です。
• 54πε₀a³Em：4πε₀a³Emは半径を1回多く掛けた形で、単位はC·mとなり電荷になりません。表面の電界は中心からの距離の2乗に反比例するので、Emから電荷に戻すときに掛けるのはa²です。