令和6年度上期第三種電気主任技術者試験 理論（電気技術者試験センター）問7

✓ これが正解3R₂＝rR₁／(r＋R₁)

解説

R₂から見た電源側の抵抗rR₁／(r＋R₁)にR₂が等しいとき最大です。

可変抵抗R₂から電池側を見ると、起電力E、内部抵抗rの電池に抵抗R₁が並列についた回路です。これをテブナンの定理で一つの電圧源と抵抗の直列に置き換えると、電圧はE₀＝ER₁／(r＋R₁)、抵抗はR₀＝rR₁／(r＋R₁)（起電力を短絡してrとR₁を並列にした値）になります。

電圧E₀、内部抵抗R₀の電源に負荷R₂をつなぐと、R₂で消費される電力（ジュール熱の発生の割合）はP＝E₀²R₂／(R₀＋R₂)²です。分母と分子をR₂で割るとP＝E₀²／(R₀²／R₂＋2R₀＋R₂)となり、分母のR₀²／R₂＋R₂は、相加平均と相乗平均の関係からR₂＝R₀のとき最小の2R₀になります。したがってジュール熱が最大になるのは、R₂＝R₀＝rR₁／(r＋R₁)のときです。これを最大電力の条件（負荷の整合）といいます。

数値で検算します。r＝R₁＝2 Ω、E＝2 Vとすると、E₀＝1 V、R₀＝1 Ωです。R₂＝1 ΩのときP＝1×1／2²＝0.25 W、R₂＝0.5 ΩではP＝0.5／1.5²≒0.22 W、R₂＝2 ΩではP＝2／3²≒0.22 Wとなり、R₂がrR₁／(r＋R₁)＝1 Ωのときに最大です。

負荷の電力が最大になるのは、負荷から電源側を見た抵抗と負荷の抵抗が等しいとき、と覚えておきます。

ほかの選択肢の解説

• 1R₂＝r：R₂＝rは、電池に負荷だけを直接つないだときの最大電力の条件です。この回路ではR₁が並列に入っているので、R₂の位置から見た電源側の抵抗はrとR₁の並列の値になり、rそのものではありません。
• 2R₂＝R₁：R₂＝R₁では、電池の内部抵抗rが条件に入っていません。R₂の電力を最大にするには、R₂の位置から見た回路全体の抵抗、つまりrとR₁を並列にした値に合わせる必要があります。
• 4R₂＝rR₁／(R₁－r)：分母がR₁－rの式は、rとR₁の並列の合成抵抗とは形が違います。並列の合成抵抗は積を和で割るので分母はr＋R₁で、R₁がrより小さいとこの式は負になり、抵抗の値として成り立ちません。
• 5R₂＝rR₁／(r－R₁)：分母がr－R₁の式は、R₁がrより大きいと負の値になり、抵抗の値として使えません。二つの抵抗の並列の合成値は積を和で割って求めるので、分母は差ではなく和のr＋R₁です。