平成30年度 秋期 午前 問2

✓ これが正解イ50

解説

待ち時間が処理時間に並ぶのは利用率50％からです。

平均待ち時間が一件あたりの平均処理時間に並ぶのは、利用率がいくつになったときか、という問いです。設問はポアソン分布に従う到着、指数分布に従う処理時間、窓口が一つという条件をそろえて書いていますから、M/M/1 の式をそのまま当てられます。平均待ち時間は、利用率を、1から利用率を引いた値で割り、そこに平均処理時間を掛けた形になります。求めたいのは、この待ち時間が平均処理時間以上になる境目です。両辺を平均処理時間で割ると、利用率を1から利用率を引いた値で割ったものが1以上、という条件だけが残ります。利用率は1より小さいので分母は正のままで、不等号の向きは変わりません。移項して整理すると、利用率が0.5以上であればよいと分かります。つまり50パーセントが境目です。数を入れて確かめます。利用率が0.5のときは0.5を0.5で割って1倍ですから、待ち時間はちょうど平均処理時間と同じです。0.4のときは0.4を0.6で割っておよそ0.67倍で、まだ届きません。見分けの軸は、設問が少なくとも何パーセント以上かと尋ねている点です。条件を満たす利用率はいくらでも大きく取れますから、答えになるのはその中の最小の値、つまり境目のほうです。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• ア33：この値を入れると、利用率を1から引いた値との比はおよそ0.5にしかならず、平均待ち時間は一件あたりの処理時間の半分ほどにとどまります。境目にすら届いていないので、設問の条件を満たしません。
• ウ67：この値を入れると比はおよそ2になり、平均待ち時間は一件あたりの処理時間のおよそ2倍にふくらみます。条件そのものは満たしますが、少なくともいくつ以上かという問いに対しては大きすぎます。
• エ80：この値を入れると比は4になり、平均待ち時間は一件あたりの処理時間の4倍にまで伸びます。これも条件は満たしますが境目ではないので、最小の利用率を問う設問の答えにはなりません。