令和6年度 春期 午前 問2

✓ これが正解エ2ρ／（1−2ρ）×Ts

解説

統合で到着が 2 倍になり利用率は 2ρ です。

設問は、二つの支店の ATM を 1 台にまとめた後の平均待ち時間を表す式を選ばせています。軸になるのは、統合によって何が変わり、何が変わらないのかという区別です。M/M/1 の待ち行列モデルでは、平均待ち時間は、利用率を、1 から利用率を引いた値で割り、それに平均サービス時間を掛けた形になります。統合後の利用者数は両支店の合計だと条件にあるので、単位時間あたりに訪れる人数は 2 倍です。一方、平均サービス時間は Ts のまま据え置かれています。利用率は、訪れる人数と平均サービス時間の積で決まるため、統合後は 2ρ になります。これを先の形に入れると、2ρ を、1 から 2ρ を引いた値で割り、Ts を掛けた式が得られます。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• アρ／（1−ρ）×Ts：統合する前の 1 台ぶんの式をそのまま置いた形です。窓口がふさがっている割合を置き換えていないので、利用者が倍に増えたという条件がどこにも効いていません。
• イρ／（1−2ρ）×Ts：割る側だけを書き換え、割られる側を元のままにした形です。同じ量が式の 2 か所に現れるのに、片方だけを差し替えたので釣り合いが崩れています。
• ウ2ρ／（1−ρ）×Ts：割られる側だけを書き換え、割る側を元のままにした形です。混み具合が増したときに待ちが跳ね上がるという性質が、この形では表れません。