令和元年度 秋期 午前 問3

✓ これが正解イ0.5

解説

待ち時間が伝送時間を超えるのは利用率が0.5からです。

与えられた式の右辺は、平均伝送時間に「回線利用率÷(1−回線利用率)」を掛けた形です。平均回線待ち時間のほうが長くなる条件は、この掛ける係数が1を超えることとまったく同じになります。回線利用率を r と置けば、r÷(1−r)＞1 という不等式が立ちます。r は1より小さいので 1−r は正の値であり、両辺に掛けても不等号の向きは変わりません。整理すると r＞1−r、すなわち 2r＞1 となり、境目はちょうど0.5だと分かります。設問は利用率を少しずつ上げたときに最初に長くなる値を聞いているので、条件を満たす中で最も小さい0.5を選びます。つまり半分が分かれ目です。分母が0へ近づくほど係数が急に伸びる性質も、この式から読み取れます。混雑が進むと待ちが跳ね上がる理由が、ここに表れています。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• ア0.4：0.4 のとき係数は 0.4÷0.6 で約0.67となり、1を下回ります。待ち時間は伝送時間の3分の2ほどにとどまり、まだ追いついていません。境目より小さい値を選ぶと、そもそも設問の条件を満たさないことになります。
• ウ0.6：0.6 のとき係数は 0.6÷0.4 の1.5で、条件そのものは満たしています。ただし聞かれているのは、利用率を上げていって最初に超える値です。0.5 の時点ですでに超えているため、境目としては大きすぎます。
• エ0.7：0.7 のとき係数は 0.7÷0.3 で約2.33となり、待ちは伝送の2倍を上回ります。条件そのものは満たしますが、境目からはさらに離れた値です。不等式を解かずに、感覚で大きめの値を選ぶと、この形の誤りになります。