令和7年度上期第三種電気主任技術者試験 機械（電気技術者試験センター）問18(b)

✓ これが正解3

解説

実軸の2.0から下側に半円を描き、ω＝2で－45°の軌跡です。

ベクトル軌跡は、周波数伝達関数 G(jω) の値を、ω を0 から∞まで変えながら複素平面上にたどった曲線です。(a) で求めた一巡伝達関数は G(jω)＝2／(1＋jω0.5) で、一次遅れ要素の形をしています。

ω＝0 では G＝2 で、実軸上の2.0 の点から始まります。ω が大きくなると分母の大きさが増えて G は0 に近づき、ω→∞ で原点に至ります。G の偏角は分母の偏角の符号を反対にしたもので －tan⁻¹(0.5ω) となり、0°から－90°の間、つまり虚軸の負の側（実軸より下側）を通ります。一次遅れ要素の軌跡は、実軸上の0 と2 を直径の両端とする半円になります。

特徴的な点として、0.5ω＝1 つまり ω＝2 rad/s のとき G＝2／(1＋j)＝1－j で、大きさ √2≒1.41、偏角－45°となり、半円の最も下の点です。以上から、実軸の2.0 から下側に半円を描き、ω＝2 rad/s で－45°の点を通る軌跡が正解です。

一次遅れ K／(1＋jωT) の軌跡は、K から下側の半円で原点へ向かい、－45°の点は ω＝1／T、と覚えておくと素早く選べます。

ほかの選択肢の解説

• 1…2.0の点（ω＝0）から虚軸の正の側（上側）に半円を描いて原点0（ω＝∞）に至る。半円の頂点の点がω＝2 rad/sで，原点からその点への破線と実軸のなす角は45°：実軸の2.0 から始まり ω＝2 rad/s で45°の点を通る点は合っていますが、半円が虚軸の正の側（上側）にあります。分母に＋jω0.5 がある一次遅れでは偏角が負になるので、軌跡は下側を通ります。
• 2…0.67の点（ω＝0）から虚軸の正の側（上側）に半円を描いて原点0（ω＝∞）に至る。半円の頂点の点がω＝6 rad/sで，原点からその点への破線と実軸のなす角は45°：始点0.67 と ω＝6 rad/s は、閉ループ伝達関数 2／(3＋jω0.5) の始点（2／3≒0.67）と偏角－45°の点（0.5ω＝3）にあたる値で、しかも半円が上側です。一巡伝達関数の軌跡は2.0 から下側に描きます。
• 4…0.67の点（ω＝0）から虚軸の負の側（下側）に半円を描いて原点0（ω＝∞）に至る。半円の最下点がω＝2 rad/sで，原点からその点への破線と実軸のなす角は45°：下側の半円である点は合っていますが、ω＝0 の始点が0.67 になっています。一巡伝達関数に ω＝0 を入れると 2／1＝2 なので、始点は実軸上の2.0 です。0.67は外側の帰還も含めた閉ループの値です。
• 5…0.67の点（ω＝0）から虚軸の負の側（下側）に半円を描いて原点0（ω＝∞）に至る。半円の最下点がω＝6 rad/sで，原点からその点への破線と実軸のなす角は45°：外側のループまで閉じた閉ループ伝達関数 2／(3＋jω0.5) の軌跡で、始点 2／3≒0.67、0.5ω＝3 で偏角－45°となる ω＝6 rad/s の点と一致します。一巡伝達関数のベクトル軌跡ではありません。