令和6年度上期第三種電気主任技術者試験 理論（電気技術者試験センター）問12
理論
平等電界に関する問題
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真空中に置かれた平行電極板間に，直流電圧V [V]を加えて平等電界E [V/m]を作り，この陰極板に電子を置いた場合，初速零で出発した電子が陽極板に到達したときの速さは，v [m/s]となった。このときの電子の運動エネルギーは，電子が陽極板に到達するまでに得るエネルギーに等しいと考えられ，次の式が成立する。(1／2)mv²＝［(ア)］ ただし，電子の電気素量をe[C]，電子の質量をm [kg]とする。したがって，この式から電子の速さv [m/s]は，［(イ)］で表される。上記の記述中の空白箇所(ア)及び(イ)に当てはまる組合せとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
| (ア) | (イ) | |
|---|---|---|
| (1) | eV | √(4eV／m) |
| (2) | eV | √(2eV／m) |
| (3) | 2eV | √(4eV／m) |
| (4) | eE | √(2eE／m) |
| (5) | eE | √(4eE／m) |
- 1(ア) eV (イ) √(4eV／m)
- 2(ア) eV (イ) √(2eV／m)
- 3(ア) 2eV (イ) √(4eV／m)
- 4(ア) eE (イ) √(2eE／m)
- 5(ア) eE (イ) √(4eE／m)
答えと解説
✓ これが正解2(ア) eV (イ) √(2eV／m)
解説
電子が得るエネルギーはeVなので、v＝√(2eV／m)です。
電気素量eの電荷が電位差Vの間を移動すると、電界から受ける仕事（得るエネルギー）はeV [J]です。電極の間隔をdとすると電界の強さはE＝V／dで、電子が受ける力はeE、移動する距離はdなので、仕事はeE×d＝eVとなり、同じ結果です。したがって(ア)はeVです。eEは力（単位N）で、エネルギーにはなりません。
(1／2)mv²＝eVをvについて解くと、v²＝2eV／m、v＝√(2eV／m)となります。したがって(イ)は√(2eV／m)です。
単位で検算します。eVはC×V＝J、mはkgなので、2eV／mの単位はJ/kg＝(kg·m²/s²)／kg＝m²/s²となり、平方根をとるとm/sで速さの単位に合います。
よって、(ア)がeV、(イ)が√(2eV／m)の組合せが正解です。電子が得るエネルギーは電荷と電位差の積、と覚えておくと、電界Eとの取り違えを防げます。
ほかの選択肢の解説
- 1…4eV／m)：(ア)のeVは正しいのですが、(イ)の√(4eV／m)は、運動エネルギーが2eVだとしたときの速さです。(ア)をeVとした式をvについて解くとv²は2eV／mで、4eV／mにはなりません。
- 3(ア) 2eV (イ) √(4eV／m)：(ア)の2eVは、電子が得るエネルギーを2倍にしています。電位差Vの間を移動した電子が電界から受ける仕事はeVで、2eVとすると速さも√2倍に大きく見積もることになります。
- 4…2eE／m)：eEは電子が電界から受ける力で、単位はNです。エネルギーにするには移動距離dを掛けてeEdとする必要があり、eEのままでは運動エネルギーと等しいとおけず、速さの式も単位が合いません。
- 5…4eE／m)：(ア)をeEとする点がまず誤りで、eEは力であってエネルギーではありません。さらに(イ)の√(4eE／m)は係数も4になっていて、運動エネルギーの式から出る係数2とも合いません。
出典：令和6年度上期第三種電気主任技術者試験 理論 問12（電気技術者試験センター）。1問ずつ解ける形に加工しています（B問題の共通の文と図を小問ごとに複写・図と式を問題冊子から切り出して画像で掲載・1行で書ける式を字に書き直し）。解説は当サイト独自のもので、電気技術者試験センターとは関係ありません。
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