令和6年度下期第三種電気主任技術者試験 理論（電気技術者試験センター）問8
理論
正弦波交流電圧源に関する問題
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図のように，二つの正弦波交流電圧源e₁[V]，e₂[V]が直列に接続されている回路において，合成電圧v [V]の最大値はe₁の最大値の［(ア)］倍となり，その位相はe₁を基準として［(イ)］[rad]の［(ウ)］となる。上記の記述中の空白箇所(ア)～(ウ)に当てはまる組合せとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
| (ア) | (イ) | (ウ) | |
|---|---|---|---|
| (1) | 1／2 | π／3 | 進み |
| (2) | 1＋√3 | π／6 | 遅れ |
| (3) | 2 | π／3 | 進み |
| (4) | √3 | π／6 | 遅れ |
| (5) | 2 | 2π／3 | 進み |
- 1(ア) 1／2 (イ) π／3 (ウ) 進み
- 2(ア) 1＋√3 (イ) π／6 (ウ) 遅れ
- 3(ア) 2 (イ) π／3 (ウ) 進み
- 4(ア) √3 (イ) π／6 (ウ) 遅れ
- 5(ア) 2 (イ) 2π／3 (ウ) 進み
答えと解説
✓ これが正解3(ア) 2 (イ) π／3 (ウ) 進み
解説
直交する二つの電圧の和で、最大値は2倍、位相はπ／3の進みです。
同じ周波数の正弦波は、最大値を長さ、位相を角度とするベクトルで表して足し合わせることができます。e₁は最大値E・位相θ、e₂は最大値√3E・位相θ＋π／2なので、e₂はe₁よりπ／2だけ進んだ、e₁と直交するベクトルです。
直交する二つのベクトルの和の大きさは三平方の定理から√(E²＋3E²)＝√(4E²)＝2Eです。したがって合成電圧vの最大値はe₁の最大値の2倍で、(ア)は2です。和のベクトルとe₁のなす角φはtanφ＝√3E／E＝√3からφ＝π／3で、e₂の側に傾くので進みです。(イ)はπ／3、(ウ)は進みとなります。
三角関数の合成で検算します。x＝ωt＋θとおくと、v＝E sin x＋√3E cos xで、これを2E×{(1／2)sin x＋(√3／2)cos x}と書き直すと2E sin(x＋π／3)に変形でき、最大値2E、π／3の進みで一致します。
したがって2、π／3、進みの組合せが正解です。直交する二つの正弦波は、最大値を三平方の定理で、位相をtanで求める、と覚えておくと速く解けます。
ほかの選択肢の解説
- 1(ア) 1／2 (イ) π／3 (ウ) 進み：(イ)のπ／3と(ウ)の進みは合っていますが、(ア)の1／2が誤りです。e₁にそれより大きいe₂が直交して加わるので、合成の最大値がe₁より小さくなることはありません。
- 2(ア) 1＋√3 (イ) π／6 (ウ) 遅れ：(ア)の1＋√3は、最大値をそのまま数として足した値です。位相がπ／2ずれた電圧はベクトルで足すので2倍になります。(イ)(ウ)のπ／6遅れは、合成電圧をe₂から見たときのずれで、e₁基準ではありません。
- 4(ア) √3 (イ) π／6 (ウ) 遅れ：(ア)の√3はe₂の最大値の係数をそのまま取った値で、e₁の分が入っていません。(イ)(ウ)のπ／6遅れもe₂を基準にした位相で、e₁を基準にすればπ／3の進みです。
- 5(ア) 2 (イ) 2π／3 (ウ) 進み：(ア)の2と(ウ)の進みは合っていますが、(イ)の2π／3が誤りです。2π／3ではtanが－√3となり、e₁の成分Eとe₂の成分√3Eがどちらも正である合成の向きと合いません。
出典：令和6年度下期第三種電気主任技術者試験 理論 問8（電気技術者試験センター）。1問ずつ解ける形に加工しています（B問題の共通の文と図を小問ごとに複写・図と式を問題冊子から切り出して画像で掲載・1行で書ける式を字に書き直し）。解説は当サイト独自のもので、電気技術者試験センターとは関係ありません。
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