令和元年度 秋期 午前 問2

✓ これが正解アĀ−B

解説

差集合の定義に戻すと、そのまま補集合の積になります。

差集合の定義から確かめます。X−Y は X に属して Y に属さない要素の集まりです。よって Ā−B は、Ā の側にあって B には無い要素、すなわち Ā∩B̄ そのものです。これが求める式です。残る三つは、いずれも A∩B の補集合に一致します。S−A が Ā、S−B が B̄ なので、その和は Ā∪B̄ を書き換えただけです。S−(A∩B) も、法則を当てれば同じ集合になります。Ā∪B̄ から A∩B を取り去った形も、交わらないので何も減りません。三つが同じ値を指す以上、残った一つが答えだと消去法でも決まります。図に描けば、求める式だけが二つの円の外側を塗ります。残りは重なりの外側すべてを塗ると分かります。両方に属さないのか、少なくとも一方に属さないのかを見分けるのが要点です。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• イ(Ā∪B̄)−(A∩B)：Ā∪B̄ から A∩B を取り去った形ですが、この二つの集合には共通の要素がありません。引く相手が重なっていないので、もとの Ā∪B̄ のまま少しも変わらないのです。求める集合とは、条件の向きがちょうど裏返しになっています。
• ウ(S−A)∪(S−B)：S−A は Ā、S−B は B̄ ですから、この式は Ā∪B̄ を長く書いただけです。和と積を取り違えており、ド・モルガンの法則を片側だけ当てた形になります。別の肢と同じ集合を指す点からも、単独の答えにはなり得ません。
• エS−(A∩B)：S−(A∩B) は A と B の両方に属する要素だけを除いた残りです。片方だけに属する要素は残ってしまうので、両方に属さない要素の集まりよりも広い範囲を指します。含まれる範囲が違う集合を選んだことになります。