平成25年度 秋期 午前 問5

✓ これが正解イ50

解説

係数が1を超えるのは回線利用率が50％を超えたときです。

設問は M/M/1 の待ち行列モデルの関係式を与えたうえで、平均回線待ち時間が平均伝送時間より先に長くなるのは回線利用率が何パーセントを超えたときかを問うています。見る軸は一つで、平均伝送時間に掛かっている係数が 1 を超える点はどこか、です。式は平均回線待ち時間が平均伝送時間に回線利用率を 1 から回線利用率を引いた値で割ったものを掛けた形になっています。ここで比べたいのは、この積が平均伝送時間そのものより大きいかどうかですから、両辺を正の量である平均伝送時間で割ってしまえます。すると平均伝送時間の値は最後まで必要なく、残るのは係数が 1 を超える条件だけです。分母は 0 より大きいのでそのまま掛けてよく、回線利用率が 1 から回線利用率を引いた値より大きい、すなわち回線利用率の 2 倍が 1 より大きいと整理でき、答えは 0.5 より大きいこと、つまり 50 パーセントを超えたときになります。境目をまたいで表にしても、ちょうど 50 パーセントで係数が 1.000 と等しくなり、そこから先で初めて 1 を上回ります。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• ア40：40 パーセントでは係数が 0.4 を 0.6 で割った約 0.667 にとどまり、待ち時間はまだ伝送時間より短いままです。境目より手前なので、最初に追い抜く点としては早すぎます。
• ウ60：60 パーセントは、境目でちょうど等しくなるところをまだ追い抜いていないと読み、刻みを一つ先へ送った形です。設問が聞いているのは超えた直後の値なので、境目そのものが答えになります。
• エ70：70 パーセントでは係数がすでに約 2.33 まで上がっており、追い抜きはとうに起きています。分母と分子を取り違えるか、係数が 1 になる点を 1 に近い値と見積もると出てくる選び方です。