平成27年度 秋期 午前 問48

✓ これが正解エN ＝ NA × NB ／ NAB

解説

重なりの数で割り戻すと総数が求まります。

式を組み立てる鍵は、設問が付けた二つの条件です。二組は独立してテストしていること、そして検出する能力と効率が等しいことです。ここから、それぞれの組が全体のうち何割を見つけられるかは同じだ、と置けます。総エラー数を N とすると、一方の組が見つけた割合は NA を N で割った値になります。もう一方の組が見つけた NB 個に目を移すと、その中で先の組も重ねて見つけた割合が NAB を NB で割った値です。能力が等しいのですから、この二つの割合は等しくなります。式にすると NAB を NB で割った値が NA を N で割った値に等しく、整理すれば N は NA と NB を掛けて NAB で割った形になります。数を入れて確かめます。NA が 50、NB が 40、NAB が 20 なら N は 100 です。一方の組は 100 個のうち 50 個、つまり半分を見つけており、もう一方が見つけた 40 個のうちの半分である 20 個を重ねて見つけている計算になり、与えた条件と話が合います。これは池の魚に印を付けて放し、もう一度すくったときの印つきの割合から全体の数を推し量る、標識を使った推定と同じ考え方です。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• アN ＝ NA ＋ NB － NAB：重なりを一度だけ数えた足し算で、どちらか一方でも検出できた個数そのものになります。先の数値例では 70 となり、まだどちらの組にも見つかっていない分がまるごと抜け落ちます。
• イN ＝ NAB × NA × NB：三つの個数を掛け合わせているため、単位が個の三乗になってしまいます。先の数値例では 40000 となり、実際に検出した数と比べても桁が跳ね上がってしまいます。
• ウN ＝（NA ＋ NB）／ NAB：検出した個数の合計を重なりの個数で割る形なので、出てくるのは個数ではなく比です。先の数値例では 4.5 という値になり、総エラー数として読める大きさになりません。