平成25年度 秋期 午前 問1

✓ これが正解ア279

解説

使える数字が8種類なので、会員番号は8進数として読めます。

設問は、4 と 9 を飛ばした連番で会員番号を発行したとき、0528 番までで何人に付与したかを問うています。見る軸は一つで、会員番号に使える数字が何種類あるかです。0 から 9 のうち 4 と 9 を除くと、0・1・2・3・5・6・7・8 の 8 種類が残ります。使える数字が 8 種類しかない番号体系は、基数が 8 の位取りと同じ構造になります。そこで小さい順に、0 を 0 に、1 を 1 に、2 を 2 に、3 を 3 に、5 を 4 に、6 を 5 に、7 を 6 に、8 を 7 に対応させると、0528 は 0427 に読み替えられます。あとは 4×64 ＋ 2×8 ＋ 7 を計算して 256 ＋ 16 ＋ 7 ＝ 279 となり、付与した会員数は 279 人です。逆向きにも確かめられます。279 を 8 進で書くと 427 で、これをもとの数字に戻すと 0528 になり、設問の上限とぴたり一致します。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• イ344：344 は、0528 の並びをそのまま基数 8 の位取りとみなして 5×64 ＋ 2×8 ＋ 8 と計算した値です。飛ばした分を詰める読み替えを省いているため、発行されないはずの 8 という数字まで位の重みに載ってしまいます。
• ウ422：422 は、10 個の数字のうち 8 個しか使わないから全体の 8 割が発行されると見積もった値で、528×0.8 ＝ 422.4 を切り捨てた形にあたります。飛ばされる番号は下 1 桁だけでなく上の桁にも現れるので、割合では人数が決まりません。
• エ427：427 は、読み替えまでは正しくできたのに、その結果を 10 進に直さずそのまま答えにした値です。位の重みを 64 と 8 と 1 で掛け直す一手が残っています。