平成21年度 秋期 午前 問3

✓ これが正解ウ25

解説

最高周波数の二倍で標本化するので、周期は 25 マイクロ秒です。

標本化定理は、もとの信号に含まれる最も高い周波数の二倍以上の速さで標本を取れば、もとの波形を復元できる、という定理です。この設問の信号は 0 から 20 kHz までの帯域をもつので、最も高い周波数は 20 kHz、必要な標本化周波数は 40 kHz 以上になります。標本化周期は標本化周波数の逆数ですから、1 ÷ 40,000 秒 ＝ 0.000025 秒、すなわち 25 マイクロ秒です。問われているのは最大の周期なので、周波数が下限の 40 kHz に張り付いたときの周期を採ります。周波数をこれより上げれば周期は短くなり、条件は満たしますが最大ではなくなります。逆に周期をこれより長くすると標本化周波数が 40 kHz を割り込み、定理の条件から外れてしまいます。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• ア2.5：2.5 マイクロ秒は、逆数を取ると 400 kHz に当たります。必要な速さの十倍で標本を取ることになり、条件は満たしますが、問われている最大の周期にはなりません。
• イ5：5 マイクロ秒は、逆数を取ると 200 kHz に当たります。これも条件は満たすものの必要より速く標本を取る側なので、周期を伸ばせるところまで伸ばした値ではありません。
• エ50：50 マイクロ秒は、逆数を取ると 20 kHz に当たります。これは信号の最も高い周波数とちょうど同じ速さでしかなく、二倍以上という条件そのものを満たしていません。