平成28年度 春期 午前 問7

✓ これが正解ウn×F(n−1)

解説

n×F(n−1) が階乗の再帰定義そのものです。

階乗の値は、その数から1ずつ小さくした数を最後まで掛け合わせたものです。この式を再帰の形で表すと、ある数の階乗を、その数と、1つ小さい数の階乗との積で書くことができます。ここでは非負の整数を対象にしていて、0のときの値を1と決めているので、掛け算を終える基準ができています。判定の軸は、いま扱っている数と、1つ小さい数の階乗を掛け合わせる形になっているかどうかの一点です。空欄に入るのは、いま扱っている数と、1つ小さい数の階乗を掛ける式です。ここで扱っているのは、繰返しを再帰の呼出しで置き換える書き換えの考え方で、基準になる止め方が別に決められていることが正しく働くための前提になります。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• アn＋F(n−1)：いま扱っている数と、1つ小さい数の階乗との和になっています。階乗は積で定義される値なので、和で組み立てると数値の大きさがまったく合いません。この形で順に展開すると、1のとき2、2のとき4、3のとき7となり、3の階乗である6とは一致しませんでした。
• イn−1＋F(n)：1つ小さい数と、いま扱っている数自身の階乗との和になっています。ここでは自分の階乗を自分の中で呼び戻しており、値が決まらない循環になります。基準に届かないまま呼出しが止まらない形でした。
• エ(n−1)×F(n)：1つ小さい数と、いま扱っている数自身の階乗との積になっています。呼出しが同じ数のまま繰り返される点はn−1＋F(n)の形と同じで、基準に近づかないため値が定まりません。掛け算の並びも階乗の定義と合いませんでした。