平成27年度 春期 午前Ⅱ 問19

✓ これが正解イ4,950

解説

100人から2人を選ぶ組合せの数で、100×99÷2＝4,950個です。

共通鍵暗号方式では、暗号化と復号に同じ鍵を使うので、通信する2人の組ごとに、その2人だけが知る鍵を一つずつ用意する必要があります。見分ける軸は、必要な鍵の数が、送受信者から2人を選ぶ組合せの数に等しいことです。n人から2人を選ぶ組合せは n×(n−1)÷2 で求められます。100人なら、100×99＝9,900、これを2で割って4,950となり、必要な共通鍵は4,950個です。2で割るのは、同じ2人の組を向きで区別しないからです。人数が増えると鍵の数はおよそ人数の2乗に比例して増える、という性質も合わせて押さえておくと便利です。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• ア200：200は、100人がそれぞれ2個ずつ鍵をもつとして100×2で求めた値です。各人が公開鍵と秘密鍵を一つずつもつ公開鍵暗号方式なら鍵の総数はこの数になりますが、共通鍵暗号方式の鍵の数ではありません。
• ウ9,900：9,900は、100×99をそのまま使い、2で割らなかった値です。送る側と受ける側の向きで別々の鍵を数えたことになりますが、共通鍵は2人の組に一つで足りるので、同じ組を二重に数えています。
• エ10,000：10,000は、100×100で求めた値です。自分自身との組まで数えたうえ、同じ2人の組を向きの違いで二重に数えているため、必要な鍵の数を大きく見積もっています。