令和3年度 春期 午前 問14

✓ これが正解エS 字状（原点付近では y ＝ x より下，途中で交差して 1 付近では y ＝ x より上）

解説

式は 2x^2 − x^4 で，途中で直線を横切る形です。

設問は、同じ稼働率の装置を四つ組み合わせた図のシステムについて、稼働率の変わり方を表すグラフを選ばせています。ですから計算の軸は、図の構成を式に直したうえで、その値が破線の直線より上に来るか下に来るかを、区間の両端と途中の何点かで確かめる、という一点だけです。図は、装置を二つつないだ組を二つ作り、それらを並列につないだ形です。二つつないだ組がはたらく確率は x を二回掛けた値で、二つの組がともに止まる確率はその余りを二回掛けた値ですから、システム全体の稼働率は 1 からそれを引いた形になり、展開すると 2x^2 − x^4 です。x が 0.5 のとき値は 0.4375 で直線より下、x が 0.9 のとき値は 0.9639 で直線より上、そして x が 0 と 1 のときは直線とちょうど重なります。つまり途中で直線を横切って上へ抜ける形です。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• ア上に凸で常に y ＝ x より上（原点付…：区間のどこでも破線より上に来る形ですが、x が 0.5 のときの値は 0.4375 であり、破線の値 0.5 を下回ります。この一点だけで、常に上にあるという形は成り立ちません。
• イ下に凸で常に y ＝ x より下（原点付…：区間のどこでも破線より下に来る形ですが、x が 0.9 のときの値は 0.9639 であり、破線の値 0.9 を上回ります。組を二つ並べた効果が右側で現れるため、下のままにはなりません。
• ウS 字状（原点付近と 1 付近で y ＝…：両端の近くでどちらも破線より上へ膨らむ形ですが、原点に近い側では 2x^2 − x^4 は x より小さくなります。x が小さいほど二乗の項が効かなくなるためで、左側は破線より下を通ります。