平成25年度 春期 午前 問16

✓ これが正解エ常に B の稼働率が高い。

解説

差を取ると符号が一定で、常に B が高くなります。

二つの構成の信頼性を比べる問は、式を立てて差を取り、因数分解して符号を見る、という三段で解きます。直列は掛け算、並列は両方が止まる確率を 1 から引く形です。三台の稼働率をそれぞれ x、y、z と置きます。システム A は x と y を並列にしたものに z を直列でつないだ構成ですから、稼働率は xz ＋ yz − xyz になります。システム B は x と z を直列にしたものに y を並列でつないだ構成ですから、y ＋ xz − xyz になります。差を取ると x が消えて、y と 1 − z の積だけが残ります。どの稼働率も 0 より大きく 1 より小さいという条件から、この積は必ず正です。つまりシステム B のほうが常に高くなります。式を使わない見方もできます。システム A は z が止まれば全体が止まりますが、システム B には単独で全体を止める装置がありません。冗長は系全体を包む位置に入れるほど効く、ということです。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• ア各装置の稼働率の値によって，A と B …：最も選びたくなる形ですが、差は因数分解できて符号が一つに定まります。三台の稼働率が 0 と 1 の間にある限り、大小が入れ替わることはありません。
• イ常に A と B の稼働率は等しい。：直列と並列を掛け替えても同じになる、という読みです。差として y と 1 − z の積が残りますので、両者がそろうのは条件の外にある場合だけです。
• ウ常に A の稼働率が高い。：符号を逆に取った形です。三台をすべて 0.9 にすると 0.891 と 0.981、すべて 0.5 にすると 0.375 と 0.625 となり、いずれも単独点を持たない側が上回ります。