平成21年度 秋期 午前Ⅱ 問21

✓ これが正解イ10

解説

nを限りなく大きくするとPは1／aへ向かい、a＝0.1なら上限は10です。

式P＝n／(1＋(n－1)a)の分母と分子をnで割ると、P＝1／(1／n＋a－a／n)となります。nを幾らでも大きくすると、1／nとa／nはどちらも0に向かうので、Pは1／aに限りなく近づきます。a＝0.1を入れると、上限は1／0.1＝10です。実際、n＝4ならP＝4／1.3≒3.1、n＝100ならP＝100／10.9≒9.2で、台数を増やしても10には届かず、増え方が鈍っていきます。これはCPUを増やすほどオーバヘッドが効いてくるマルチプロセッサの性能の考え方です。上限を問われたら、nを無限に大きくしたときの式の形を先に求めると早く解けます。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• ア5：5は上限ではなく、台数を増やしていく途中の値です。n＝9のとき分母は1＋8×0.1＝1.8で、P＝9／1.8＝5となりますが、さらに台数を増やせばPは5を超えて増え続けます。
• ウ15：Pが10以上になるにはn≧10×(0.9＋0.1n)＝9＋nが必要ですが、これはどのnでも成り立ちません。Pはどの台数でも10未満にとどまるので、それより大きい15に達することはありません。
• エ20：台数をどれだけ増やしても、この式のPは10を超えないので、20は上限に当たりません。正しい上限の1／0.1＝10の2倍にあたり、a＝0.1の条件からは導けない値です。