令和6年度上期第三種電気主任技術者試験 機械（電気技術者試験センター）問18(a)

✓ これが正解26

解説

r²－6r＝0を解いてr＝6、6進法で50－26＝24です。

r 進法で表された数は、各桁の数字に r の累乗を掛けて足すと10進法の値になります。問の式の各数は (122)ᵣ＝1×r²＋2×r＋2、(42)ᵣ＝4×r＋2、(40)ᵣ＝4×r です。なお、数字の4が使われているので、r は5以上でなければなりません。

与えられた式を10進法に直すと、(r²＋2r＋2)－(4r＋2)＝4r です。左辺を整理すると r²－2r となるので、r²－2r＝4r、すなわち r²－6r＝0 です。これを因数分解すると r×(r－6)＝0 となり、r は2以上なので r＝6 です。

別の方法で確かめます。r＝6 のとき (122)₆＝36＋12＋2＝50、(42)₆＝24＋2＝26、(40)₆＝24 で、50－26＝24 となり式が成り立ちます。6進法の筆算で見ても、一の位は 2－2＝0、六の位は 2－4 ができないので上の位から 6 を借りて 8－4＝4、三十六の位は借りた後の 1－1＝0 となり、(40)₆ が得られます。

桁ごとの重みを r の累乗で書き出して方程式にする、という手順で r 進法の問は解けます。

ほかの選択肢の解説

• 15：r＝5 とすると、(122)₅＝25＋10＋2＝37、(42)₅＝22 で差は 15 ですが、(40)₅＝20 なので式は成り立ちません。r²－6r＝0 を満たすのは r＝6 だけです。
• 37：r＝7 とすると、(122)₇＝49＋14＋2＝65、(42)₇＝30 で差は 35 となり、(40)₇＝28 と一致しません。左辺は r²－2r、右辺は 4r で、両者が等しくなるのは r＝6 のときです。
• 48：r＝8 とすると、(122)₈＝64＋16＋2＝82、(42)₈＝34 で差は 48 ですが、(40)₈＝32 なので成り立ちません。r が大きいほど、左辺の r²－2r が右辺の 4r より速く増えていきます。
• 59：r＝9 とすると、(122)₉＝81＋18＋2＝101、(42)₉＝38 で差は 63 となり、(40)₉＝36 と合いません。各桁に r の累乗を掛けて方程式を立てると、解は r＝6 に決まります。