令和2年度 10月 午前 問1

✓ これが正解エD ≒ B log₁₀ 2

解説

10^D ≒ 2^B の両辺に常用対数を当てて導きます。

同じ整数を 10 進で D 桁、2 進で B 桁と数えると、両者の大きさはおおよそ 10^D と 2^B で揃います。ですからこの二つの桁数の橋渡しは、10^D ≒ 2^B の両辺の対数を取って導きます。常用対数を当てれば、左辺は D × log₁₀ 10 となり係数が 1 に整理でき、右辺は B × log₁₀ 2 の形になるので、D は B に log₁₀ 2 を掛けた値でおおよそ表せます。式を選ぶときは、左右のどちらに 10 進の桁数 D が出るか、B に掛かるのは対数か B 自体かを最初に確かめると迷いにくくなります。試しに 100 を当てると、10 進で 3 桁、2 進では 7 桁になり、B に log₁₀ 2 ≒ 0.301 を掛けるとおよそ 2.1 となり、10 進の桁数 3 との差は 1 未満に収まります。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• アD ≒ 2 log₁₀ B：式が D ≒ 2 log₁₀ B と書かれています。10 進の桁数を求めるのに 2 進の桁数の対数を取り、係数として 2 を置く形ですが、10^D ≒ 2^B の両辺に対数を当てた結果とは形がそろいません。
• イD ≒ 10 log₂ B：式が D ≒ 10 log₂ B と書かれています。B の対数を取り、しかも底が 2 になっています。10^D ≒ 2^B から導ける式では B は対数の外に線形で残り、B の対数はここでは現れません。
• ウD ≒ B log₂ 10：式が D ≒ B log₂ 10 と書かれています。B が線形で残っている点はよいのですが、掛かる係数の対数の底が 2 で真数が 10 の向きになっており、両辺に常用対数を当てた式には出てこない並びです。