令和元年度 秋期 午前 問4

✓ これが正解ア0

解説

分母の次数が一つ大きいので、極限の行き先は0になります。

分数どうしの割り算は、割る側をひっくり返して掛ける形に直すと見通しがよくなります。すると分子には後ろの式の分子と前の式の分母が集まり、分母には前の式の分子と後ろの式の分母が集まります。整理できたら、あとは次数だけを眺めます。分子はtの一次、分母はtの二次になっています。変数がどこまでも大きくなるとき、行き先を決めるのは最も高い次数の項だけです。分母のほうが一つ高いということは、下が上よりずっと速く育つということにほかなりません。割り算は分母が大きくなるほど値が小さくなるので、答えはいくらでも0へ近づきます。係数はどちらも0でないと決められているため、極限の行き先を動かす働きはしません。次数の差だけで決まる、という形はこの種の問いにそのまま使えます。どちらが速く育つかに置き換えると迷いません。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• イ1：1は、分子と分母の次数がそろっているときに現れる形です。係数どうしの比が残り、その比がちょうど一になった場合にあたります。まず次数を見比べる癖をつけておけば、こちらへ寄る誤りは起きません。別の問いでよく出るので区別します。
• ウb／a：次数が等しいときに残る、係数どうしの比の形です。式に出てくる二つの定数を組み合わせただけの見た目なので、つい選びたくなります。定数が残るのは、上と下の育ち方が釣り合っているときだけです。釣り合う条件を整理しておきます。
• エ∞：分子の次数が分母より高いときの行き先です。割り算の向きを取り違えると、育つ側と縮む側が入れ替わってこの形になります。どちらを下に置いたのかを、式を作った段階で書き留めておくと安全です。正しい答えのちょうど裏返しです。