平成28年度 春期 午前Ⅱ 問23

✓ これが正解ア1−(1−a)(1−b^3)

解説

利用できる確率は(1−a)(1−b^3)で、その余事象が答えです。

まず、システムを利用できる確率を求めます。サーバが稼働している確率は1−aです。クライアントは3台のうち少なくとも1台が動いていればよいので、3台すべてが止まっている確率b^3を1から引いた1−b^3が、クライアント側が使える確率になります。サーバとクライアント側の両方がそろう必要があるので、利用できる確率は(1−a)(1−b^3)です。利用できない確率はその余事象なので、1−(1−a)(1−b^3)となります。たとえばa＝0.1、b＝0.5なら、利用できる確率は0.9×0.875＝0.7875、利用できない確率は0.2125です。直列はかけ算、並列は全部止まる確率を1から引く、という稼働率の考え方を組み合わせた問いです。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• イ1−(1−a)(1−b)^3：(1−b)^3は3台のクライアントがすべて稼働している確率です。少なくとも1台でよいところを3台とも必要とする計算になっており、利用できない確率を大きく見積もっています。
• ウ(1−a)(1−b)^3：(1−a)(1−b)^3は、サーバと3台のクライアントがすべて稼働している確率です。利用できない確率ではなく、しかもクライアントを3台とも必要とする場合の値になっています。
• エ1−ab^3：ab^3は、サーバと3台のクライアントがすべて同時に止まっている確率です。1から引いた値は、どれか1台でも動いている確率であり、サーバが動いていることを条件にしていません。