平成26年度 秋期 午前 問2

✓ これが正解エ(16／10)^n

解説

けたが増えるほど比は 16 対 10 の n 乗に近づきます。

設問は、同じ 4n ビットを二通りの数え方で使い切ったときの最大値の比が、n を大きくしたときにどの形へ近づくかを問うています。見分けの軸は、1 けたあたり何通りを表せるかという一点です。符号なし固定小数点表示法では、4n ビットのすべてを数の表現に使えるので、最大値はすべてのビットが 1 のときであり、2 の 4n 乗から 1 を引いた値、すなわち 16 の n 乗から 1 を引いた値になります。いっぽう BCD は 10 進の 1 けたに 4 ビットずつを割り当てる決まりなので、4n ビットは 10 進の n けたにあたり、各けたの最大は 9 ですから、最大値は 10 の n 乗から 1 を引いた値です。比を取ると、分子も分母も 1 を引いた形になりますが、n が大きくなるほどその 1 の影響は相対的に小さくなり、比は 16 の n 乗を 10 の n 乗で割った値、すなわち 16 と 10 の比の n 乗へ近づきます。実際に n が 1、2、3 のときの比は 1.67、2.58、4.10 となり、1.6、2.56、4.096 へ寄っていきます。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• ア(15／9)×n：底として 15 対 9 を置いたうえ、n を掛ける形にしています。この二つの数は n が 1 のときに 1 を差し引いた後の実測値であり、さらに増え方も掛け算ではなく足し算として扱っているため、二重に外れています。
• イ(15／9)^n：n 乗という増え方は合っていますが、底が n を 1 としたときの値のままです。差し引いた 1 の効きはけた数が伸びるほど薄れるので、底は 4 ビットで表せる通り数どうしの比に落ち着きます。
• ウ(16／10)×n：底は正しく取れているものの、n 倍という形にしています。けたが一つ増えるたびに表せる範囲は掛け算で広がるため、二つの最大値の比も掛け算で積み上がり、n 乗の形になります。