平成29年度 春期 午前 問1

✓ これが正解エ(A∩C) ∪ (B∩C) ＝ (A∪B) ∩ C

解説

和と積の分配法則が、そのまま成り立つ形が答えでした。

集合の演算にも、数の計算と同じような分配の法則があります。積集合を和へ配る形と、和集合を積へ配る形の二つが成り立ちます。問われたのは、中身によらず常に成立する等式でした。正解の左辺は、AとCの積と、BとCの積を和で結んだ形です。どちらの積にもCが共通しているので、Cでくくり出せます。くくると、AとBの和にCを掛けた形が現れます。これが右辺と一致するので、中身によらず成り立ちました。残る三つは、特別な場合にしか成り立ちません。一つ目の等式は、左辺がAとCの積の内側に縛られています。右辺はBの側が自由なので、BとCに属しAに属さない要素で食い違います。二つ目は、和を積へ配る向きをCの側で取り違えていました。三つ目は、二つの積の相手を入れ替えたので、対応が崩れます。くくり出せるかを見れば、答えは決まります。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• ア(A∪B) ∩ (A∩C) ＝ B ∩ …：左辺はAとCの積に縛られるので、必ずAに含まれます。ところが右辺は、Bに属していればAの外でも成り立ちます。Aに属さず、BとCに属する要素で食い違いました。左辺には入らず、右辺には入ります。常に成立とは言えません。
• イ(A∪B) ∩ C ＝ (A∪C) ∩ …：和と積の配り方を取り違えた形です。正しくは、和集合に積を配ると二つの積の和になります。この等式は、右辺を和集合どうしの積にしてしまいました。Cだけに属する要素では、左辺が偽で右辺が真です。そこで食い違います。配る向きが逆でした。
• ウ(A∩C) ∪ (B∩A) ＝ (A∩B…：二つの積の相手を入れ替えた形です。左辺はAが共通で、右辺はBが共通になっています。くくり出せる相手が違うので、同じにはなりません。AとCに属しBに属さない要素で確かめられます。左辺には入り、右辺には入りません。