令和4年度 秋期 午前 問1

✓ これが正解イ2n

解説

けた数は掛け算で足し算になり、n＋n です。

設問は、正の整数 a を 2 進数で表すと n ビットのとき、その 2 乗である b が最大で何ビットになるかを問うています。軸になるのは、けた数と値を混ぜずに、まず a の上限を押さえることです。n ビットで表せる最大の値は 2 の n 乗から 1 を引いた数なので、b はその 2 乗より大きくなりません。この値は 2 の n 乗の 2 乗、すなわち 2 の 2n 乗より小さいので、b は 2n ビットに収まります。さらに、a を 2 の n 乗から 1 を引いた数に取ると、b は 2 の 2n−1 乗を超えるため、2n けた目が実際に立ちます。つまり収まるだけでなく、その上限に届く場合があるので、最大で 2n ビットになります。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• アn＋1：値を 2 倍したときのけた数です。2 倍は並びを左へ一つずらす操作にすぎず、増えるのは 1 けただけなので、2 乗との取り違えになっています。
• ウn²：けたの本数どうしを掛け合わせた形です。掛け算の対象になるのは値であって、それを表すのに必要な本数ではありません。n が 4 なら 16 となり、実際に必要な 8 と合いません。
• エ2ⁿ：n ビットで表せる値の個数を表す数です。目盛りの細かさを示す量であって、けたの本数ではありません。n が 4 なら 16 となり、必要な 8 とは意味も大きさも違います。