平成27年度 春期 午前 問38

✓ これが正解アM^n

解説

どの桁もM通りなので、総数はMのn乗です。

設問は、パスワードに使用できる文字の種類の数をM、文字数をnとするとき、設定できるパスワードの理論的な総数を求める数式を選ばせています。数え方は、桁を一つずつ見ていくだけです。1文字目はM通りあります。2文字目もまたM通りです。2文字目が減らないのは、1文字目と同じ文字をもう一度使ってよいからです。これがn文字ぶん続きますから、総数はMをn回掛け合わせた値、すなわちMのn乗になります。場合の数は、重複を許すかどうかと、順序を数えるかどうかの二つを組み合わせた四通りに分かれます。パスワードは同じ文字を何度でも使え、並ぶ順も意味を持ちますから、重複を許して順序も数える数え方にあたります。小さい数で確かめておくと確実です。使える文字がaとbの2種類、長さが2文字なら、実際に書き出すとaa、ab、ba、bbの4通りになり、Mのn乗は2の2乗で4となって一致します。この式は、総当たりに必要な時間の見積もりにも直結します。文字の種類を増やすより長さを増やすほうが効くのは、種類が掛け算で効くのに対して長さは指数で効くからです。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• イM! ÷ (M−n)!：M個からn個を取り出して並べる順列の式です。取り出したら減る数え方なので、同じ文字を2度使えません。使える文字がaとbで2文字のときに計算すると2通りにしかならず、aaとbbが数えられていない点で外れます。
• ウM! ÷ ( n! × (M−n)! )：M個からn個を取り出す組合せの式で、減る数え方であるうえに順序も無視します。同じ条件で計算すると1通りにしかならず、並び方の違いを別のものとして数えない点でも合いません。
• エ(M＋n−1)! ÷ ( n! × (M…：重複を許す数え方ではありますが、順序を無視する式です。重複を許すという点だけを見ると引っかかります。同じ条件で計算すると3通りとなり、abとbaを一つに潰した数になっている点で外れます。