平成25年度 春期 午前 問2

✓ これが正解ア(A̅∪B)∩(A∪B̅)

解説

ド・モルガンの法則で外側の否定を配ると決まります。

原典では上線が 2 段になっていて、外側の長い線が式全体に掛かり、内側の短い線は A と B に別々に掛かっています。どこまで掛かっているかを先に読み取るのが最初の関門です。そのうえで、外側の否定をド・モルガンの法則で内側へ配ります。積の否定は、それぞれを否定した和に変わりますので、和集合の否定と、二つの補集合の和の否定に分かれます。さらに一段配ると、前者は A にも B にも属さない部分、後者は A にも B にも属する部分になります。二重の否定が元に戻る点にも注意してください。つまり求める集合は、A と B の属し方が一致する部分です。式変形だけを信じずに、ベン図の四つの区画で確かめると確実です。どちらにも属さない区画と、どちらにも属する区画で真になり、片方だけに属する二つの区画では偽になります。正解の式を展開しても同じ二つの区画が残り、四区画とも一致します。

ほかの選択肢はなぜ違うのか

• イ(A̅∪B̅)∩(A∪B)：外側の否定を取り除いただけの式で、もとの条件そのものです。属し方が食い違う部分を表しますから、求めた集合のちょうど補集合にあたります。ここが最も紛れやすい形です。
• ウ(A̅∩B)∪(A∩B̅)：片方だけに属する部分を、二つの場合に分けて書いた式です。表しているのは対称差ですから、属し方が一致する部分とは重なりが一切ありません。
• エ(A̅∩B̅)∩(A∪B)：どちらにも属さない部分と、少なくとも一方に属する部分との積になっています。この二つは互いに補い合う関係ですから、積は必ず空集合になります。